m.3oloum

زائرنا الكريم
يرجى التكرم بتسجيل دخولك إذا كنت عضو لدينا بالفعل
وإذا لم تكن كذلك فنحن نتشرف بانضمامك لأسرتنا
شكرا


إدارة المنتدى


m.3oloum
 
الرئيسيةس .و .جبحـثالتسجيلدخول
دليل الطالب
تصويت
ما رأيك بالتصميم الجديد للمنتدى ؟
ممتاز
71%
 71% [ 17 ]
جيد
25%
 25% [ 6 ]
لابأس به
4%
 4% [ 1 ]
غير مناسب
0%
 0% [ 0 ]
مجموع عدد الأصوات : 24
المواضيع الأكثر شعبية
المحاضرة 1 جبر خطي 2
المحاضرة 2 برمجة وخوارزميات
مرجع جبر A first cours in liner algebra رائع جدا
المحاضرة 2 تحليل 2
المحاضرة 1 تحليل متجهي
المحاضرة 1 برمجة وخوارزميات
المحاضرة 3 برمجة وخوارزميات
تاريخ الرياضيات
المحاضرة 1 برمجة وخوارزميات عملي
المحاضرة 1 تحليل 2
المواضيع الأخيرة
» الطابعات وأنواعها
الثلاثاء أبريل 09, 2013 7:10 pm من طرف hana sh

» وحدات التخزين الثانوية {التنظيم المنطقي للسواقات (الذاكرة الميتة)}
السبت أبريل 06, 2013 7:43 pm من طرف rouba kh

» الشاشات وأنظمة الألوان
السبت أبريل 06, 2013 7:43 pm من طرف rouba kh

» رسالة من الخوارزمي إلى نيوتن !
السبت أبريل 06, 2013 7:42 pm من طرف rouba kh

» تطور الرياضيات عند العرب
السبت أبريل 06, 2013 7:42 pm من طرف rouba kh

» ماذا بعد المليون
السبت أبريل 06, 2013 7:41 pm من طرف rouba kh

» التحليل الرياضي
السبت أبريل 06, 2013 7:41 pm من طرف rouba kh


شاطر | 
 

 الأحداث العشوائية واحتمالاتها

اذهب الى الأسفل 
كاتب الموضوعرسالة
m3oloum
مدير المنتدى
avatar

ذكر

عدد المساهمات : 76

نقاط : 11474

السٌّمعَة : 2

العمر : 24

تاريخ التسجيل : 16/02/2013

المستوى الدراسي : طالب جامعي

الجامعة : جامعة دمشق

السنة الدراسية : الأولى

مُساهمةموضوع: الأحداث العشوائية واحتمالاتها   الإثنين فبراير 18, 2013 4:58 am

الأحداث العشوائية واحتمالاتها


الظواهر العشوائيةRandom Phenomena

اقتصرت الدراسات الإنسانية حتى وقت قريب على ما يدعى بالقوانين الحتمية
وينسب القسم الأعظم من العلوم التي يتلقاها التلاميذ في دروسهم المدرسية
إلى هذا النوع من القوانين و نُورد فيما يلي بعض الأمثلة على ذلك:

إذا كانت قاعدة الهرم مربعاً طول ضلعه a و ارتفاعه h عندئذ يكون حجمه مساوياً

و إذا كانت لدينا دارة كهربائية مقاومتها m و شدة التيار فيها i فإن فرق الجهد بين قطبيها يساوي

هناك عدد غير محدود من هذه الأمثلة و لكن لا يمكن لهذا النوع من
القوانين أن يعالج جميع القضايا التي تُصادف الإنسان في حياته. كمثال على
ذلك نطرح الأسئلة التالية: ما هو عدد حوادث السير التي ستقع غداً في مدينة
دمشق؟ كم سنة سيعيش المولود الجديد؟ ما كمية الأمطار
التي ستهطل على القطر غداً؟

لاحظ أن لجميع الأسئلة السابقة خاصة مشتركة و هي أننا غير قادرين
على إعطاء إجابة محددة كما في الأمثلة السابقة و ذلك لأن حوادث السير مثلاً
تخضع للعديد من العوامل المؤثرة والتي لا يمكن التنبؤ بها مثل الحالة
الفنية لسيارات و حالة الطرق و الأحوال الجوية السائدة و الحالة النفسية
لسائقي السيارات و غير ذلك...

نقول في جميع الحالات السابقة أننا أمام ظواهر عشوائية و هي بطبيعة
الحال ظواهر طبيعية تتمتع بخاصة كون مشاهداتها المُسجلة في ظروف متماثلة لا
تؤدي دائماُ إلى النتيجة ذاتها.

كمثال عن الظواهر العشوائية نقوم بسحب كرة من صندوق يحوي ست كرات
متماثلة من جميع النواحي ماعدا اللون حيث أنه لدينا أربع كرات بيضاء و
اثنتان حمراوان.

و لنطرح السؤال التالي: ما لون الكرة لمسحوبة؟ من الواضح أنه لا
يوجد إجابة محددة لهذا السؤال. يمكن أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء أو
حمراء.

أي لا يمكن التنبؤ بلون الكرة المسحوبة. لنفرض أننا نقوم بتكرار
التجربة عدد كبير من المرات و في كل مرة نسجل لون الكرة المسحوبة ونعيدها
إلى الصندوق قبل إجراء السحب التالي.


نلاحظ أن التكرار النسبي لظهور الكرات البيضاء يساوي تقريباً وهي نسبة عدد الكرات البيضاء إلى عدد الكرات الكلي في الصندوق.

إنّ نظرية الاحتمالات هي العلم الذي يهتم بدراسة الظواهر العشوائية و تحليلها.

سنرى لاحقاً أنّ نظرية الاحتمالات لا تقوم بدراسة كل الظواهر
العشوائية بل تقتصر على دراسة تلك الظواهر التي يمكن مشاهدة نتائجها عدداً
غير محدود من المرات وفي ظروف ثابتة ويكون لتلك النتائج استقرار تكراري
(إحصائي).

و بذلك نرى أنّ نظرية الاحتمالات تُمكن الإحصائي من تفسير و تحليل
المعطيات بشكل أفضل وبالتالي القدرة على اتخاذ القرار المناسب وهو ما نسميه
الاستدلال الإحصائي .

أي أن مفاهيم الاحتمالات تشكل عنصراً رئيسياً مُكملاً للطرق الإحصائية والذي يساعد أيضاً في قياس قوة الاستدلال الإحصائي.


فضاء العينة Sample Space


تعريف : هو مجموعة كل النتائج الممكنة للتجربة وسنرمز له ب .

إن دراسة الإحصاء تهتم بشكل أساسي بعرض و تفسير المعطيات التي لا يمكن
التنبؤ بها مسبقاً
الناتجة عن دراسة الظواهر العشوائية و ذلك بهدف اتخاذ قراراً ما بشأنها.
فمثلاً نقوم بتسجيل حوادث السير التي تقع شهريا عند إحدى التقاطعات في
مدينة دمشق و ذلك
بهدف اتخاذ قرار بوضع إشارة ضوئية على هذا التقاطع. كذلك نقوم بتصنيف
منتجات أحدالمصانع
فإما أن يكون المنتج معطوباً أو أن يكون صالحاً للاستخدام.
نلاحظ أن الإحصائي يتعامل غالباً إما مع معطيات تجريبية عددية ناتجةعن
قياسات أو حسابات أو ربما مع معطيات فئوية مصنفة وفق معايير معينة.
إن أية عملية تسجيل للمعلومة سواء كانت عددية أو فئوية تسمى مشاهدة أو
ملاحظة (observation).
فمثلاً الأرقام 2,0,1,2 التي تمثل عدد حوادث السير المسجلة على أحد
التقاطعات في مدينة دمشق خلال الأشهر من كانون الثاني إلى نيسان من السنة
السابقة تمثل
مجموعة من الملاحظات.
كذلك المعطيات الفئوية التالية N ,D,N ,N ,D تمثل مجموعة من الملاحظات
أثناء اختبار خمسة من منتجات أحد المصانع اخُتيرت عشوائياً.

مثال1:
فضاء العينة في تجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة هو حيث يدل على ظهور الصورة و يدل على ظهور الشعار .

مثال2:
فضاء العينة في تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة هو


التجربة العشوائية Random Experiment


تعريف : هي عملية تولد مجموعة من المعطيات,(كمية أو نوعية أو كلاهما معا), اي عمل نقوم به للرد على سؤال مطروح,وتكون مجهولة النتائج مع تماثل الظروف.

هناك العديد من الأمثلة على التجارب العشوائية نذكر منها على سبيل
المثال لا الحصر:
رمي قطعة نقود و تسجيل النتيجة التي تظهر، مراقبة حوادث السير خلال فترات
محددة و تسجيل آراء الناس بخصوص زيادة ضريبة الدخل.
إن مجموعة الملاحظات نحصل عليها من تكرار التجربة عدة مرات في معظم الحالات
تعتمد نتائج التجربة على الحظ فقط أي لا يمكننا التنبؤ بنتيجة التجربة
بشكل أكيد و لذلك نقول أن التجربة عشوائية. فمثلاً عندما نقوم برمي قطعة
نقود منتظمة عدة مرات فإننا لا نستطيع
التأكيد بأن الصورة ستظهر على الرغم معرفتنا بأنه لدينا نتيجتين ممكنتين
فقط إما صورة أوكتابة.


الأحداث العشوائية Random Events


تعريف: الحدث العشوائي هو كل مجموعة جزئية من فضاء العينة ونرمز له عادة بأحد الرموز .

نقول أن الحدث قد وقع إذا كانت نتيجة التجربة هي عنصر من اي

نسمي كل مجموعة تتضمن فقط إحدى النتائج الممكنة للتجربة حدثاً ابتدائياً.

ينتج من تعريف الحدث بأن كل حدث ابتدائي هو حدث وأن كلا من المجموعة الخالية وفضاء العينة
حدث لأن , و

ندعو الحدث المستحيل , و الحدث الأكيد .


جبر الأحداث The Algebra Of Events


عرفنا الحدث على أنه مجموعة جزئية من فضاءالعينة أي مجموعة عناصرها هي
كل النتائج الممكنة لتجربة عشوائية وهكذا نلاحظ بأن الأحداث العشوائية لها
طبيعة المجموعات وبالتالي فإن كل ما يعرفه الطالب عن عمليات الاجتماع
والتقاطع والفرق في نظرية المجموعات وعن الخواص المختلفة لهذه العمليات
ينسحب تماما على الأحداث .



  • اجتماع حدثين : إن اجتماع الحدثين و هو حدث يقع إذا وقع أحد الحدثين A أو B أو كلاهما.


  • اجتماع عدة أحداث : اجتماع حدثا () هو حدث يقع إذا وفع أحدها على الأقل .


  • تقاطع حدثين : إن تقاطع الحدثين A و B هو حدث يقع إذا وقع الحدثين معاً .


  • تقاطع عدة أحداث : تقاطع حدثاً () هو حدث يقع إذا وقعت جميع الأحداث حيث

; .



  • الاحتواء : ليكن A و B حدثين ما وكان فإن وقوع الحدث A يؤدي إلى وقوع الحدث B.


  • فرق حدثين : الفرق بين حدثين A و B هو حدث يقع إذا وقع أحدهما ولم يقع الآخر ( : هو حدث يقع إذا وقع A ولم يقع B ).




  • الحدثان المتنافيان : نقول أن الحدثين A و B متنافيان إذا وفقط إذا كان .

لاحظ أن وقوع أحد الحدثين المتنافيين ينفي إمكانية وقوع الحدث الآخر في الوقت نفسه.


  • الحدثان المتضادان : نقول أن الحدثين A و B متضادان إذا كان وكان


  • متمم الحدث : متمم حدث A هو حدث يحوي سائر الأحداث
    الابتدائية من فضاء العينة و الغير محتواة في A ونرمز له ب A' ونلاحظ أن A و
    A' حدثان متنافيان وأن




صف الأحداث


نُسمى المجموعة التي عناصرها مجموعات صفاً.
بما أن كل حدث هو مجموعة عناصرها تُمثل أحداثاً ابتدائية و بالتالي كل حدث يعرف صفاً من الأحداث.


الجبر - جبر الأحداث


ليكن فضاة العينة المتعلق بتجربة ما . وليكن صفا من أجزاء , نقول أنّ جبر على إذا تحققت الشروط التالية:







وإذا تحقق الشرط التالي إضافة إلى الشروط السابقة:



  • ( F مغلق بالنسبة للاجتماع المعدود )

فإننا نقول أن جبر التام أو جبر على .

وكنتائج مباشرة للتعريف نجد:

نتيجة (1):

المجموعة تنتمي إلى أي جبر على

ذلك لأنه إذا كان جبراً على فإن


و ذلك حسب الشرط الأول واعتماداً على الشرط الثالث فإنّ

نتيجة (2):

ليكن جبراُ على عندئذ مغلق بالنسبة لعملية الاجتماع المنتهي.

تُبرهن هذه النتيجة بالاستقراء الرياضي.

نتيجة (3):

ليكن جبراُ على عندئذ مغلق بالنسبة لعملية التقاطع المنتهي..

الإثبات:

إذا كان جبراُ على و فإنّ:

واستنادا إلى النتيجة (2) نجد أنّ:

وحسب الشرط الثالث من تعريف الجبر نحصل على:



نتيجة (4):

كل جبر تام على هو جبر على ولكن العكس غير صحيح.


نتيجة (5):


إن (مجموعة جميع أجزاء ) هي جبر وجبر تام (حيث مجموعة منتهية).

وبصورة عامة إذا كان فضاء العينة المتعلق بتجربة ما و لنفرض أنه منتهي أو قابل للعد. عندئذ تمثل مجموعة كل الأحداث المتعلقة بهذه التجربة. استناداً للنتيجة 5 أعلاه

فإن في هذه الحالة تمثل جبراً على .

أمّا إذا كان غير منتهي وغير قابل للعد فإننّا نقبل أن الأحداث المتعلقة بالتجربة تشكل جبراً تاماً على ندعوه جبر الأحداث لا يكون بالضرورة مساويا المجموعة .



  • ملاحظة هامة : يجب عدم الخلط بين المقصود بها مجموعة الأجزاء كما ذكر سابقاً , وبين المقصود بها احتمال المجموعة ويساوي الواحد كما سنرى لاحقاً .

الفضاء الاحتمالي Probability Space


الفضاء الاحتمالي هو ثلاثية, حيث فضاء العينة و F جبراً تاماً على و P دالة عددية
معرفة على F وتقابل كل حدث A من F بعدد حقيقي نسميه احتمال وقوع الحدث A ونرمز له بـ .


مفهوم الاحتمال وخواصه


لقد ذكرنا سابقا بأن بناء نظرية الاحتمالات كنظرية رياضية يتطلب أولا
صياغة مجموعة من المُسلمات و التي ستشكل الأساس الذي تقوم عليه تلك
النظرية. تتناول هذه المُسلمات صف الأحداث والدالة P. ومعظم الكتّاب
يقتصرون عند عرض المُسلمات على الخواص التي يجب أن تتمتع بها الدالة P. وهو
ما سنقوم به في الفقرات التالية وتبقى المُسلمة المتعلقة بالصف وكأنه أمر
متعارف عليه ضمنا والتي تقول إن صف الأحداث في أي فضاء احتمالي هو جبر تام.
أما فيما يتعلق بدالة الاحتمالات P وفي سياق تطور نظرية الاحتمالات فقد
وردت عدة تعاريف للاحتمال. منها ما هو بسيط ويعتمد على الإدراك الحسي ومنها
ما يعتمد على التجربة وفكرة التكرار النسبي لإمكان ظهور الحدث المعني خلال
تكرار تجربة عددا كبيرا من المرات تحت شروط ثابتة. سنورد فيما يلي بعضا من
هذه التعاريف مبينين حدود كل منها.


التعريف التقليدي للاحتمال


ليكن فضاءالعينة المنتهي والمتعلق بتجربة مفروضة . لنفرض أن الأحداث الابتدائية متساوية الفرص في الوقوع وليكن حدثاً متعلقاً بهذه التجربة.

فإننا نعرف احتمال وقوع الحدث ونرمز له ب كما يلي :



حيث عدد عناصر المجموعة أو عدد إمكانيات وقوع الحدث

عدد الإمكانيات الكلية للتجربة.

بفرض أن عدد الإمكانيات الملائمة لوقوع الحدث هو عندئذ:



لاحظ أن تمثل تابعاً معرفاً على جبر الأحداث يحقق الخواص التالية:





الكسر لايمكن أن يكون سالباً لأن و يمثلان عدد عناصر و أي هما عددين غير سالبين.



  • لأن:





  • إذا كان و حدثين متنافيين من فإن:



ولإثبات ذلك نفرض أنّ:


عدد الأحداث الابتدائية الملائمة للحدث

عدد الأحداث الابتدائية الملائمة للحدث

وبما أنّ و متنافيان فإن عدد الأحداث الملائمة لوقوع أو يساوي وبالتالي:





  • ليكن الحدث المتمم للحدث عندئذ:



نعلم أنّ و أن و بالتالي حسب الخاصتين الثانية والثالثة

نجد أنّ:

ومنه:



  • احتمال الحدث المستحيل يساوي الصفر.

إنّ وبالتالي حسب الخاصة (4) فإن:





  • إذا كان فإن:

بالاستفادة من جبر المجموعات و

بتطبيق الخاصة (3) ثم الخاصة (1) نجد:




ومنه:





بملاحظة أن العلاقة صحيحة دوماً وحسب الخاصة (6) السابقة فإن:




قصور التعريف التقليدي للاحتمال


لحساب الاحتمال وفقا للتعريف التقليدي يجب أن يتوافر شرطان أحدهما أن
يكون فضاء العينة مجموعة منتهية، لذا فإن التعريف التقليدي يقصر عن دراسة
التجارب ذات مجموعة الإمكانات

غير المنتهية، ولا يمكن لهذا التعريف، مثلا، أن يعطينا احتمال ظهور
عدد أكبر من 2000 عندما نقوم بتجربة سحب عدد من مجموعة الأعداد الطبيعية.

أما الشرط الآخر الذي يجب أن يتوافر فهو أن تكون إمكانات التجربة
متساوية الفرص في الوقوع، لهذا فإن التعريف التقليدي للاحتمال يعجز عن
دراسة التجارب التي لا يتوافر فيها هذا

الشرط وهي أكثر من تلك التي تحققه وكمثال على ذلك حساب احتمال ظهور الصورة في تجربة قذف قطعة نقود غير متوازنة.

وهكذا نجد أن التعريف التقليدي للاحتمال لا يصلح بأن يكون الأساس النهائي لبناء نظرية الاحتمالات.


التعريف الإحصائي للاحتمال


إن المراقبة الطويلة لظهور أو عدم ظهور حدث يرتبط بتجربة معينة عند تكرارها في ظروف ثابتة تبين أن التكرار النسبي لظهور الحدث يخضع لانتظام
معين،


فإذا رمزنا بـ لعدد مرات ظهور الحدث عند تكرار التجربة مرة فإننا نلاحظ أن التكرار النسبي لظهور الحدث

والذي نعبر عنه بالنسبة يميل للاستقرار بالقرب من عدد معين وقد تبين في التجارب التي يصح فيها التعريف التقليدي للاحتمال أن التكرار النسبي للحدث

يسعى إلى احتمال وفق التعريف التقليدي وأن انحراف التكرار النسبي عن ذلك الاحتمال يتناقص كلما ازداد عدد تكرارات التجربة وهذا ما قاد بعض

العلماء إلى تعريف احتمال وقوع حدث على أنه نهاية التكرار النسبي لظهور الحدث عندما يسعى عدد المشاهدات إلى اللانهاية، أي أن:



وهو ما يدعى بالتعريف الإحصائي للاحتمال.

كما يحقق جميع الخواص التي يحققها التعريف التقليدي للاحتمال والتي تم ذكرها سابقاً.


حدود استخدام التعريف الإحصائي للاحتمال


نلاحظ أن حساب الاحتمال وفق التعريف الإحصائي يتطلب إجراء التجربة عددا
غير منته من المرات وهذا الأمر غير ممكن بالإضافة إلى أننا إحصائيا غير
قادرين أن نصل إلى نهاية النسبة

عندما

وهكذا نجد من جديد أن التعريف الإحصائي للاحتمال غير كاف لبناء النظرية الرياضية للاحتمال.


التعريف البديهي للاحتمال Axioms of Probability


إن البناء البديهي لأسس نظرية الاحتمالات ينطلق من الخواص الأساسية للاحتمال التي رأيناها في التعريفين التقليدي والإحصائي

ولذلك فإن التعريف البديهي للاحتمال يتضمن التعريفين السابقين كحالتين خاصتين ويتغلب على عيوب كل منهما

فقد تسنى لنا بناء نظرية الاحتمالات على أسس منطقية وتحقق في الوقت ذاته متطلبات العلوم الحديثة.

تعريف:

ليكن فضاء العينة لتجربة عشوائية و جبرا تاما على عندئذ ندعو الدالة دالة احتمال إذا تحققت الشروط التالية:

(بديهية 1): وذلك مهما يكن من .

(بديهية 2):

(بديهية 3): ): إذا كانت متتالية منتهية أو معدومة من عناصر المتنافية فإن:



ندعو قيمة الدالة عند باحتمال وقوع الحدث .

من مجموعة البديهيات السابقة يمكن أن نستنتج مجموعة من الخواص:



  • احتمال الحدث المستحيل يساوي الصفر أي أنّ .


  • من أجل أي حدث فإن:


  • إذا كان (الحدث يستدرج الحدث ) فإن:


  • إذا كان فإنّ .


  • إنّ وذلك من أجل كل حدث .

مبرهنة 1


ليكن حدثين من عندئذ يكون:




لاحظ أنّ:


وأنّ الحدثين و متنافيان، وحسب البديهية (3) و الخاصة (3) نجد:



الإثبات:





مخطط فن
بالاستعانة من مخطط فن للاجتماع نجد أن:





ونلاحظ أن المجموعات منفصلة مثنى مثنى ...

وبالتالي:




(1)


ونعلم أن :











نعوض في (1).... نجد أن :






وهو المطلوب ....

نتيجة:

بفرض أنّ ثلاثة أحداث غير متنافية من عندئذ:



الإثبات:


نفرض أن فيكون:

(1)

لكن ومنه وحسب المبرهنة 1 يكون:

(2)

وكذلك

(3)

بتبديل (2) و (3) في (1) نحصل على المطلوب.


طرائق العد Counting Methods


مقدمة:

لاحظنا فيما سبق أنه لحساب احتمال متعلق بتجربة معينة نلجأ إلى وضع جميع النتائج الممكنة للتجربة في قائمة


وقد كان ذلك سهلا لأن الأمثلة التي طرحناها كانت سهلة وبسيطة ولكن هذا ليس واقع الحال دوما وبخاصة عندما يصبح عدد إمكانات التجربة كبيرا جدا

ففي هذه الحالة تصبح عملية حصر النتائج في قائمة أمراً شاقاً وغير مجدٍ من أجل ذلك سنقدم بعض المبادئ المفيدة والسهلة والتي تمكننا من الوصول إلى غايتنا بشكل سريع.

*المبدأ الأساسي بالعد:

إذا كنا بصدد إجراء اختبار على مراحل عددها وكان عدد الاختبارات المتاحة لنا في المرحلة مساويا

كان عدد الاختبارات الكلية مساويا:

*التباديل:

تعريف:

لتكن مجموعة عدد عناصرها نُسمى كل تقابل تبديلا على هذه المجموعة. نرمز لعدد التباديل على مجموعة تحوي

عنصراً متمايزاً بـ .

مبرهنة 2:

لتكن مجموعة عدد عناصرها . عندئذ عدد التباديل على يعطى بالعلاقة التالية :



الإثبات:

لتكن لدينا المجموعة فإن تعيين تبديل لـ على ذاتها يتم على مرحلة كما يلي:

المرحلة الأولى اختيار الصورة المباشرة لـ ويتم ذلك بـ طريقة.

المرحلة الثانية اختيار الصورة المباشرة لـ ويتم ذلك بـ طريقة.

المرحلة الثالثة اختيار الصورة المباشرة لـ ويتم ذلك بـ طريقة.

وهكذا حتى نصل إلى المرحلة لاختيار الصورة المباشرة لـ ويتم ذلك بـ 1 طريقة.

وحسب المبدأ الأساسي للعد فإن عدد الطرائق الممكنة يساوي:



*التراتيب:

تعريف:

لتكن مجموعة عدد عناصرها و لتكن عدد عناصرها حيث

و تطبيق متباين. عندئذ:



يدعى ترتيباً لـ عنصراً مأخوذاً من . ويرمز لعدد التراتيب بالرمز .

مبرهنة 3:

لتكن مجموعة عدد عناصرها . عندئذ عدد تراتيب مجموعة مكونة من عنصراً من عناصر يعطى بالعلاقة التالية :



الإثبات:

نلاحظ أن الترتيب هو نسق حجمه مأخوذاً من مجموعة تحوي عنصرا متمايزاً. واختيار العنصر الأول من النسق يتم بـ طريقة

والثاني بـ طريقة.... والعنصر بـ طريقة.


وبالتالي فإن عدد الطرائق الممكنة يساوي:



*التوافيق:

تعريف:

لتكن مجموعة منتهية غير خالية تحوي عنصراً مختلفاً وليكن عددا طبيعيا أصغر من .


نسمي كل مجموعة جزئية من تحوي عنصرا توفيقا حجمه للمجموعة . ونرمز لعدد التوفيق ذات الحجم المأخوذة من بـ .

مبرهنة4

لتكن مجموعة عدد عناصرها . عندئذ عدد التوافيق ذات الحجم المأخوذة من يعطى بالعلاقة التالية :



الإثبات:

إذا كانت لدينا مجموعة تحوي عنصراً مختلفاً وأردنا تشكيل ترتيب حجمه


فإن ذلك يتم على مرحلتين نقوم في المرحلة الأولى باختيار مجموعة تحوي عنصراً وهذا يتم بـ طريقة ثم نقوم بترتيب العناصر

المختارة في نسق وهذا يتم بـ طريقة مختلفة وبالتالي فإنّ عدد الطرائق المختلفة لاختيار الترتيب يساوي:



ملاحظة:

نلاحظ أن مسألة اختيار مجموعة عدد عناصرها من مجموعة تحوي عنصراً حيث تكافئ مسألة تجزيء مجموعة تحوي

عنصرا مختلفاً إلى مجموعتين بحيث تحوي الأولى عنصراً والثانية عنصراً. أي أن عدد الطرق المختلفة التي يتم بها تجزيء مجموعة

تحوي عنصراً مختلفاً إلى مجموعتين الأولى تحوي عنصرا والثانية عنصرا هو:



هذا الدستور يقبل التعميم ويمكن القول بشكل عام إن عدد الطرق الممكنة لتجزئة مجموعة تحوي عنصراً مختلفاًً إلى مجموعة تحوي الأولى عنصراً والثانية عنصراً و.... والمجموعة تحوي عنصرا يساوي:

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
 
الأحداث العشوائية واحتمالاتها
الرجوع الى أعلى الصفحة 
صفحة 1 من اصل 1

صلاحيات هذا المنتدى:لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى
m.3oloum :: مواد دراسية :: إحصاء واحتمالات-
انتقل الى:  
 
إدارة منتديات سوريا الرياضيات ترحب بكم يمكنكم التواصل معنا من خلال صفحتنا على الفيس بوك \ syriamath أو على صفحتنا على تويتر @ syriamath كما يمكنكم التواصل معنا من خلال بريدنا الإلكتروني support@syriamath.com

FacebookTwitter
أختر لغة المنتدى من هنا